Александр Григорьевич Абашкин родился 14 августа 1936 года в семье учителей. Несмотря на перенесенную в детском возрасте трагедию (от разрыва снаряда он потерял зрение), Александр Григорьевич не расстался со своей мечтой стать учителем. После окончания Болховской школы для слепых детей он поступил в Орловский государственный педагогический институт на историко-филологический факультет.
По окончании института он некоторое время работал в вечерней школе рабочей молодежи преподавателем истории. Но эта работа его не вполне удовлетворяла. Стремление помочь инвалидам по зрению привело его в библиотеку. В 1962 году он поступил на работу в Орловскую областную специальную библиотеку для слепых, став сотрудником читального зала. В марте 1965 года Абашкин возглавил библиотеку и оставался в этой должности до 2005 года. На посту директора библиотеки ему удалось реализовать свой талант педагога и руководителя.
По собственному опыту зная, чем является библиотека для человека с проблемами зрения, сколь эффективной может быть ее помощь в учебе, самообразовании, развитии и самореализации незрячего как личности, Александр Григорьевич занял твердую позицию в отстаивании интересов незрячих читателей.
Ему удалось добиться строительства здания под библиотеку, а тесное сотрудничество с областным правлением ВОС помогло директору в оснащении библиотеки специальными техническими средствами, приобретении специального оборудования, а также в получении финансовой, организационной и другой поддержки.
Абашкиным вместе с ведущими специалистами библиотеки была разработана программа «Социальная реабилитация инвалидов по зрению в Орловской области», которую затем утвердил Областной совет народных депутатов. Ее реализация позволила библиотеке приобрести компьютеры, сканеры, ксерокс, принтеры, в том числе брайлевский. Сегодня Орловская областная специальная библиотека для слепых и по уровню оснащенности компьютерной техникой, электронными тифлотехническими средствами и по эффективности их использования входит в число продвинутых российских специальных библиотек.
С 1 января 2006 года Абашкин ушел на заслуженный отдых.
Александр Григорьевич любил не только свою работу, но и музыку, хоровое пение, шахматы, шашки, спортивные соревнования и т. д. С юного возраста увлекался поэзией, писал стихи.
Он неоднократно награждался почетными грамотами Центрального и областного правлений ВОС, руководства города и области.
Прожив трудную, но насыщенную событиями жизнь, Александр Григорьевич Абашкин, несомненно, оставил яркий след в душах знавших его людей. Память об этом удивительном человеке сохранится в сердцах друзей, коллег, последователей и благодарных читателей, всегда будут жить его стихи, добрые дела, созданная им библиотека.
В 2010 году Александра Григорьевича не стало.
В 2014 году Орловской областной специальной библиотеке для слепых присвоено имя Александра Абашкина.